מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים
קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה ולתאר קבוצה יש כמה דרכים שונות, לדוגמא: היא קבוצת המספרים הזוגיים החיוביים, או אותה קבוצה ניתן לתאר בצורה: + *, דרך נוספת שימושית לתאר קבוצה: + * את האיברים של הקבוצה נהוג לסמן באותיות קטנות ואם איבר בקבוצה אז נאמר שייך ל- ומסמנים: אם אינו איבר ב אז נאמר אינו שייך ל ומסמנים: להלן כמה דוגמאות לקבוצות של מספרים: קבוצת המספרים הטבעיים )שלמים חיוביים(: * + קבוצת המספרים השלמים: * + קבוצת המספרים הרציונליים : 3 R קבוצת המספרים הממשיים: R קבוצת המספרים האי-רציונליים : דוגמאות לכמה מספרים אי-רציונליים: נוכיח כי הוא נניח כי שלמים כך ש הוכחה נניח בשלילה כי רציונלי, לכן קיימים זרים )אין מספר ו שבר מצומצם )אחרת היינו מצמצמים עד שנגיע לשבר מצומצם( כלומר זוגי, כלומר זוגי, מכאן לכן אז שמחלק את שניהם( אבל אם זוגי לכן מתחלק ב מתחלק ב 4 כלומר,וכן גם מתחלק ב,לכן מתחלק ב שני מספרים זוגים, סתירה לזה שהם זרים לכן ההנחה שלנו אינה נכונה, כלומר ו סה"כ עוד קבוצות שימושיות: ו- ו- לא כולל כולל כל הממשיים בין ( ) * R קטע פתוח:+ כל הממשיים בין ( ) * R + קטע סגור:, ) * R + קטע חצי סגור חצי פתוח: ( - * R + קטע חצי פתוח חצי סגור: מספר רציונלי הוא מספר שניתן להציג כמנה של שני שלמים המספרים הממשיים שאינם רציונליים
כל הממשיים שמרחקם ( ε) * R ε ε+ : סביבת ε של קטן מ- ε )אפסילון, נשתמש באות זאת לתאר מספר חיובי מאוד קטן( מ- ε הערה אי-שוויון זה: ε נשתמש באי-שוויון האחרון לתאר את כל ה- שקול לאי-שוויון: ε לכן אנחנו בהמשך ים הנמצאים בסביבת ε של יחסים בין קבוצות נגדיר בשורות הבאות יחסים בסיסיים בין קבוצות, ונתאר חלק מהם באמצעות דיאגראמות וון הגדרה שוויון קבוצות: קבוצה שווה לקבוצה אם"ם כל האיברים ב- האיברים ב- שייכים ל- או בשפה מתמטית: ) ( )סימון זה משמעותו לכל ) שייכים ל- וכל דוגמאעבור הקבוצות + * + * + * מתקיים: הגדרה נאמר כי קבוצה ב- בשפה מתמטית: מוכלת בקבוצה או היא תת-קבוצה של, מסמנים יחס זה ע"י אם כל איברי : נמצאים דוגמא R כל קבוצה מוכלת בעצמה 3 הקבוצה הריקה + * מוכלת בכל קבוצה, כי תנאי ההכלה מתקיים באופן ריק הגדרה יהיו שתי קבוצות: 3 דיאגראמת וון נקראת על שמו של ג'ון וון, מתמטיקאי ופילוסוף בריטי אם"ם או אם ורק אם הוא ביטוי לוגי בין שתי טענות השקולות אחת לשנייה במובן שהאחת אמיתית כשהשנייה אמיתית ולהפך 3 נהוג גם לסמן את הקבוצה הריקה באות פי
כלומר: איחוד של היא קבוצת האיברים של + או * יחד עם האיברים של ומסמנים ע"י כלומר: חיתוך של היא קבוצת האיברים השייכים ל- + וגם * וגם שייכים ל- ומסמנים ע"י דוגמאעבור שתי הקבוצות + * + * מתקיים: * + * + דוגמא + * - ( תכונות של קבוצות הגדרה קבוצה סופית היא קבוצה שמספר האיברים שלה חסום במספר טבעי קבוצה אינסופית היא קבוצה שמספר האיברים שלה גדול מכל טבעי דוגמא R אינסופיות,קבוצת הזוגיים,הקטע: ) ( ו- + R * + * היא קבוצה סופית הן קבוצות תרגילהוכח כי קבוצת המספרים הראשונים אינסופית פתרוןנניח בשלילה כי יש מספר סופי של ראשונים: אינו מתחלק באף מספר ראשוני, כלומר לא ניתן להציג המספר: אותו כמכפלה של שני טבעיים והוא גם גדול מאחד, לכן הוא ראשוני, סתירה לזה שהמספרים הראשונים הם רק מספר ראשוני הוא מספר טבעי גדול מ-, שלא ניתן להציגו כמכפלה של שני מספרים טבעיים קטנים ממנו 4
צפיפות המספרים הרציונליים והאי-רציונליים משפט בין כל שני מספרים ממשיים שונים קיים מספר רציונלי וגם מספר אי-רציונלי לצורך הוכחת משפט זה נגדיר את המושג ערך שלם ונוכיח טענת עזר: הגדרה יהי מספר ממשי כלשהו, הערך השלם של שווה ל- מסמנים ע"י: -, או הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או דוגמא טענת עזר לכל ממשי קיים טבעי כך ש- הוכחת הטענה יהי ממשי חיובי כלשהו, נגדיר את המספר הבא: הוא חיובי, לכן שלם חיובי, כלומר טבעי, ומתקיים: מכאן: או: כיוון שהבחירה של הייתה שרירותית אז הטענה נכונה לכל ממשי חיובי ונוכיח שקיים ביניהם נבחר כזה ונקבל: הוכחת המשפט יהיו R נניח בה"כ )בלי הגבלת הכלליות ) ש- מספר רציונלי וגם מספר אי-רציונלי: הנחנו ש- בנוסף נבחר לכן השלם הקטן ביותר המקיים: אז לפי טענת עזר קיים כלומר: טבעי כך ( ) סה"כ: מצאנו מספר רציונלי כנדרש על מנת למצוא מספר אי-רציונלי נחזור על אותו תהליך עם במקום, כלומר נבחר המקיים: )לפי טענת עזר קיים כזה עבור המספר ( שוב נבחר שלם המקיים: ( ) ונקבל: ( ) ( ) סה"כ: מצאנו מספר אי-רציונלי כנדרש מסקנה בין כל שני מספרים ממשיים שונים, קיימים אינסוף מספרים רציונליים ואינסוף מספרים אי-רציונליים הגדרה קבוצת מספרים ממשיים נקראת צפופה ) ( בקבוצת מספרים ממשיים אם בין כל שני מספרים שונים ב- קיים מספר השייך ל- ביטוי זה משמש תמיד לציין שאנחנו מניחים הנחה נוספת מבלי שנקטין את קבוצת המקרים שבהם אנחנו מטפלים 5
מסקנה קבוצת המספרים הרציונליים צפופה ב- R מסקנה קבוצת המספרים האי-רציונליים צפופה ב- R תרגיל הוכח כי ו- אינן צפופות ב- R פתרון מספיק להראות שקיימים שני מספרים ממשיים שאין ביניהם אף מספר שלם או טבעי, נקח למשל ו- קבוצות חסומות וקבוצות לא חסומות הגדרה קבוצת מספרים ממשיים נקראת חסומה מלמעלה )או חסומה מלעיל( אם קיים מספר ממשי כזה שלכל מתקיים המספר נקרא חסם עליון )או חסם מלעיל( של הגדרה קבוצת מספרים ממשיים נקראת חסומה מלמטה )או חסומה מלרע( אם קיים מספר ממשי כזה שלכל מתקיים המספר נקרא חסם תחתון )או חסם מלרע( של הגדרה קבוצת מספרים ממשיים נקראת חסומהאם קיים כזה שלכל מתקיים או המילים אחרות, קבוצה נקראת חסומה אם היא חסומה מלמעלה וגם מלמטה דוגמאות חסומה מלמטה ואינה חסומה מלמעלה אינה חסומה מלמטה וגם אינה חסומה מלמעלה 3 חסומה תרגיל הוכח שהקבוצה 3 אינה חסומה פתרון ברור ש- חסומה מלמטה ע"י כל מספר שלילי נוכיח ש- בשלילה כי קיים כזה שלכל מתקיים כלומר לכל אינה חסומה מלמעלה, נניח טבעי מתקיים מכאן מלמעלה סתירה לזה שקבוצת הטבעיים אינה חסומה אם הגדרה החסם העליון הקטן ביותר של קבוצה נקרא סופרמום של שייך ל- אז הוא נקרא גם מקסימום של ומסמנים: ומסמנים: אם הגדרה החסם התחתון הגדול ביותר של קבוצה שייך ל- אז הוא נקרא גם מינימום של נקרא אינפימום של ומסמנים: ומסמנים: דוגמא 6
תרגיל מצא את הסופרימום, אינפימום, מקסימום ומינימום )אם קיימים( של הקבוצות הבאות: * R + 3 תרגיל תהי 3 קבוצת מספרים ממשיים הוכח כי תרגיל מצא את הערך השלם של: א ב ג ד תרגיל מצא את הסופרימום, אינפימום, מקסימום ומינימום )אם קיימים( של הקבוצות הבאות: * R + א 3 ) ( ב * R + ג 3 ד 7